法线斜率怎么求（函数的斜率怎么求）

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法线斜率怎么求（函数的斜率怎么求）

我们先整理一下此题中出现的数学词汇，包括“实数”、“比值”、“根号”、“值域”。

从这些词汇中，我们可以挖掘出解题的关键信号：比值、根号、值域。

任何一个关键信号都是一条解题线索，从任意关键信号出发，都可以指引我们找到答案！

  • 比值 联想到 斜率和数形结合
  • 根号 联想到 三角函数
  • 值域 联想到 导数和单调性

思路有了，我们开始下手吧[灵光一闪]

解法一（高一水平）

关键信号：比值

有比值的地方常常伴随着斜率。这里我们用数形结合的方法。

因为为圆方程。

原式可以改写为

又因为，

所以原式的几何意义为四分之一圆（第一象限）上一点与定点的斜率范围。即下图中射线逆时针转到所扫描到的斜率范围。

法线斜率怎么求（函数的斜率怎么求）

解法二（高二水平）

关键信号：根号

有根号的地方常常伴随着三角函数。这里我们尝试三角换元法。

即

因为为圆方程。

令，则,

则

利用三角函数万能公式：

令，因为，所以,代入得

令，因为，所以

有

解法三（高三水平）

关键信号：值域

求值域的地方常常伴随导数和单调性。这里我们用求导数的方法。

预备知识：

  • 函数商的求导法则：
  • 复合函数求导法则：，即
法线斜率怎么求（函数的斜率怎么求）

整理得

在定义域内，上式分子恒小于0，分母恒大于0。所以恒小于0。

所以该函数为严格单调递减函数。

因为，所以

当时，y取得最小值。当是，y取得最大值6。

。

如果你有更多方法，快加入评论区讨论吧！[耶]

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